W11–W12. Конические сечения, квадратичные формы, касательные и нормали

Автор

Salman Ahmadi-Asl

Дата публикации

13 ноября 2025 г.

1. Кратко

1.1 Обзор конических сечений

Коническое сечение (conic section) — кривая, полученная пересечением плоскости с двуполостным конусом. Три основных невырожденных типа: эллипс, гипербола, парабола (окружность — частный случай эллипса).

Общее уравнение второго порядка на плоскости:

\[Q(x, y) = Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\]

Коэффициенты \(A,\ldots,F\) задают тип и положение кривой.

1.2 Как узнать тип коники

Используют дискриминант \(\Delta = B^2 - 4AC\):

  • \(\Delta < 0\) — эллипс (включая окружность)
  • \(\Delta = 0\) — парабола
  • \(\Delta > 0\) — гипербола
1.3 Касательная и нормаль
1.3.1 Касательная

Касательная (tangent) в точке касается кривой и совпадает с ней «в первом порядке». Угловой коэффициент в \((x_0,y_0)\) — значение \(\frac{dy}{dx}\).

Для неявно заданной кривой применяют неявное дифференцирование: дифференцируют обе части по \(x\), для \(y\) пишут множитель \(y'\), затем выражают \(y'\).

Пример для эллипса \(3x^2+2y^2=5\):

\[\frac{d}{dx}(3x^2+2y^2-5)=0,\quad 6x+4yy'=0,\quad y'=-\frac{3x}{2y}\]

1.3.2 Нормаль

Нормаль (normal) перпендикулярна касательной. Если \(m_1\) — наклон касательной, то для нормали \(m_2\): \(m_1m_2=-1\), откуда \(m_2=-1/m_1\) (если \(m_1\neq 0\)). Уравнение прямой: \(y-y_0=m(x-x_0)\).

1.4 Эксцентриситет

Эксцентриситет \(\varepsilon\) (или \(e\)) характеризует «вытянутость»:

  • окружность: \(\varepsilon=0\)
  • эллипс: \(0<\varepsilon<1\)
  • парабола: \(\varepsilon=1\)
  • гипербола: \(\varepsilon>1\)

Для эллипса с полуосями \(a>b\): \(\varepsilon=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\), \(c^2=a^2-b^2\).

Для гиперболы: \(\varepsilon=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\), \(c^2=a^2+b^2\).

1.5 Матрицы квадратичной формы и уравнения

Многочленный вид: \(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\).

Матрица квадратичной формы:

\[\begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B/2 \\ B/2 & C \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} D & E \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + F = 0\]

Матрица полного квадратичного уравнения:

\[\begin{bmatrix} x & y & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B/2 & D/2 \\ B/2 & C & E/2 \\ D/2 & E/2 & F \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = 0\]

Обозначения как в английской версии: \(A_{qq}=\begin{bmatrix} A & B/2 \\ B/2 & C \end{bmatrix}\), \(A_q\) — расширенная \(3\times 3\).

1.6 Канонические формы

После поворота (убрать \(xy\)) и переноса (центрировать) получают канонический вид, например:

  • эллипс: \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
  • гипербола: \(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\) или \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
  • парабола: \(y^2=4px\) или \(x^2=4py\)
1.7 Поворот системы координат

При \(B\neq 0\) коника «повёрнута». Угол \(\theta\) даёт соотношение \(\cot 2\theta=\frac{A-C}{B}\), далее \(\cos 2\theta=\frac{A-C}{\sqrt{(A-C)^2+B^2}}\) и половинные формулы для \(\sin\theta,\cos\theta\) (знак \(\cos\theta\) зависит от знака \(\cot 2\theta\); \(\sin\theta\) берут положительным в стандартной схеме). Особые случаи: при \(B=0\) и \(A<C\) берут \(\theta=0\); при \(B=0\) и \(A>C\) — \(\theta=\frac{\pi}{2}\); при \(B\neq 0\) и \(A=C\) — \(\theta=\frac{\pi}{4}\), \(\sin\theta=\cos\theta=\frac{\sqrt2}{2}\).

Матрица поворота ортогональна: \(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=R(\theta)\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}\).

1.8 Перенос (параллельный перенос)

После поворота выделяют полные квадраты по \(x',y'\), вводят \(x''=x'-h'\), \(y''=y'-k'\).

1.9 Метод ортогональных инвариантов

Инварианты не меняются при ортогональных преобразованиях координат; по ним находят канонические коэффициенты \(\tilde A,\tilde C,\tilde F\) и центр \((x_0,y_0)\) из линейной системы градиента квадратичной части. Для параболы (\(B^2-4AC=0\)) — модифицированные формулы с \(\det(A_q)\).

1.10 Параметризация

Окружность: \(x=h+r\cos\theta\), \(y=k+r\sin\theta\). Эллипс: \(x=h+a\cos\theta\), \(y=k+b\sin\theta\).

1.11 Неявное дифференцирование и частные производные

Для \(F(x,y)=0\): \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}\) при \(F_y\neq 0\). Вывод: \(F_x+F_y y'=0\).

1.12 Кратко: фокусы, вершины, директриса

Свойства стандартных эллипса, гиперболы и параболы \(y^2=4px\): центр/вершины, фокусы, эксцентриситет, асимптоты (для гиперболы), директриса и фокус (для параболы).

1.13 Типовые приёмы решения задач

Выделение полных квадратов для коник без \(xy\); построение параболы по фокусу и директрисе; окружность Аполлония для отношения расстояний; окружность по трём точкам; степень точки (power of a point) относительно окружности; вырожденные квадратики (пара прямых и т.п.).

2. Определения

  • Коническое сечение: кривая пересечения плоскости с двуполостным конусом; включает эллипсы, гиперболы, параболы.
  • Эллипс: сумма расстояний до двух фокусов постоянна; \(0<\varepsilon<1\).
  • Гипербола: модуль разности расстояний до фокусов постоянен; \(\varepsilon>1\).
  • Парабола: равенство расстояний до фокуса и до директрисы; \(\varepsilon=1\).
  • Дискриминант: \(\Delta=B^2-4AC\) для \(Ax^2+Bxy+Cy^2+\cdots\).
  • Касательная: локально одна общая точка и совпадающий наклон.
  • Нормаль: перпендикуляр к касательной в точке.
  • Эксцентриситет: число \(\varepsilon\ge 0\), характеризующее форму.
  • Большая и малая полуось эллипса: \(a\), \(b\) (\(a>b\) для вытянутого вдоль большой оси).
  • Вещественная и мнимая полуось гиперболы: \(a\), \(b\) в каноническом виде.
  • Фокус / фокусы: особые точки коники.
  • Каноническая форма: простейшее уравнение после поворота и переноса.
  • Квадратичная форма: однородная квадратичная часть, матрица \(A_{qq}\).
  • Матрица квадратичной формы: \(2\times 2\) блок \(A,B/2;B/2,C\).
  • Матрица квадратичного уравнения: симметричная \(3\times 3\) с \(D/2,E/2,F\).
  • Матрица поворота: \(R(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\).
  • Ортогональный инвариант: величина от коэффициентов, не меняющаяся при повороте и переносе.
  • Неявное дифференцирование: поиск \(y'\) из \(F(x,y)=0\).
  • Частная производная: \(\partial F/\partial x\) при фиксированном \(y\) и наоборот.
  • Параметрические уравнения: \(x=f(t)\), \(y=g(t)\).
  • Асимптота: предельное положение прямой для ухода на бесконечность.
  • Директриса: фиксированная прямая в определении параболы.
  • Вершина: для параболы — ближайшая к директрисе точка; для эллипса/гиперболы — вершины на главной оси.
  • Окружность Аполлония: геометрическое место точек с постоянным отношением расстояний до двух точек.
  • Описанная окружность: единственная окружность по трём неколлинеарным точкам.
  • Степень точки: \((x_0-h)^2+(y_0-k)^2-r^2\) относительно \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\).
  • Вырожденная коника: уравнение распадается на прямые.

3. Формулы

  • Общее уравнение коники: \(Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\)
  • Дискриминант типа: \(\Delta = B^2 - 4AC\); знак \(\Delta\) — эллипс / парабола / гипербола
  • Наклон по неявному заданию: для \(F(x,y)=0\): \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}\)
  • Перпендикулярные прямые: \(m_1m_2=-1\)
  • Уравнение прямой с наклоном: \(y-y_0=m(x-x_0)\)
  • Эксцентриситет эллипса: \(\varepsilon=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\), \(c^2=a^2-b^2\)
  • Эксцентриситет гиперболы: \(\varepsilon=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\), \(c^2=a^2+b^2\)
  • Канонический эллипс: \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) (\(a>b\))
  • Каноническая гипербола: \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) или \(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)
  • Каноническая парабола: \(y^2=4px\), \(x^2=4py\)
  • Угол поворота: \(\cot 2\theta=\frac{A-C}{B}\), \(\cos 2\theta=\frac{A-C}{\sqrt{(A-C)^2+B^2}}\)
  • Половинные углы: \(\cos\theta=\pm\sqrt{\frac{1+\cos2\theta}{2}}\), \(\sin\theta=+\sqrt{\frac{1-\cos2\theta}{2}}\) (стандартный выбор)
  • Матрица поворота: связь \((x,y)\) и \((x',y')\) — как выше
  • Матрица квадратичной формы \(A_{33}\) и матрица уравнения \(A_q\)
  • Инварианты (эллипс/гипербола): \(A+C\), \(\det A_{33}\), \(\det A_q\)
  • Центр: решение \(\begin{cases}Ax_0+\frac{B}{2}y_0+\frac{D}{2}=0\\\frac{B}{2}x_0+Cy_0+\frac{E}{2}=0\end{cases}\)
  • Инварианты (парабола): формулы через \(A+C\) и \(\det A_q\)
  • Параметризация окружности и эллипса
  • Расстояние между точками
  • Длина касательной из внешней точки к окружности: \(\sqrt{d^2-r^2}\)
  • Асимптоты гиперболы \(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\): \(y=\pm\frac{a}{b}x\)
  • Тождество \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)
  • Окружность Аполлония: \((x-x_A)^2+(y-y_A)^2=k^2\big[(x-x_B)^2+(y-y_B)^2\big]\), \(k>0\), \(k\neq 1\)
  • Окружность по трём точкам (определитель): \[\begin{vmatrix} x^2 + y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0\]
  • Степень точки: \(P=(x_0-h)^2+(y_0-k)^2-r^2\); знак \(P\) — внутри / на / снаружи
  • Парабола фокус–директриса: равенство расстояний до фокуса и до прямой \(ax+by+c=0\)
  • Вырожденная пара прямых: при \(B^2-4AC=0\) и отсутствии линейных членов — после поворота \((x')^2=\text{const}\) и т.п.

4. Примеры

4.1. Частные производные (Лаба 8, задание 1)

Найдите \(F_x\) and \(F_y\) for \(F(x, y) = x^3 + 3x^2y - y^3\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Partial derivatives treat one variable at a time, holding others constant.

  1. Найдите \(F_x\) (частная производная по \(x\)):

    Считайте \(y\) постоянной: \[F_x = \frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^3 + 3x^2y - y^3)\] \[F_x = 3x^2 + 6xy - 0\] \[F_x = 3x^2 + 6xy\]

  2. Найдите \(F_y\) (частная производная по \(y\)):

    Считайте \(x\) постоянной: \[F_y = \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^3 + 3x^2y - y^3)\] \[F_y = 0 + 3x^2 - 3y^2\] \[F_y = 3x^2 - 3y^2\]

Ответ:

\(F_x = 3x^2 + 6xy\)

\(F_y = 3x^2 - 3y^2\)

4.2. Частные производные: тригонометрия (Лаба 8, задание 2)

Найдите \(F_x\) and \(F_y\) for \(F(x, y) = \sin(x) + \cos(y)\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

  1. Найдите \(F_x\):

    \[F_x = \frac{\partial}{\partial x}(\sin(x) + \cos(y)) = \cos(x) + 0 = \cos(x)\]

  2. Найдите \(F_y\):

    \[F_y = \frac{\partial}{\partial y}(\sin(x) + \cos(y)) = 0 - \sin(y) = -\sin(y)\]

Ответ:

\(F_x = \cos(x)\)

\(F_y = -\sin(y)\)

4.3. Общая формула для производной (Лаба 8, задание 3)

Найдите \(\frac{dy}{dx}\) for the circle \(x^2 + y^2 = 25\) using the general formula \(\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Apply the general implicit differentiation formula with partial derivatives.

  1. Запишите в виде \(F(x, y) = 0\):

    \[F(x, y) = x^2 + y^2 - 25 = 0\]

  2. Найдите частные производные:

    \[F_x = \frac{\partial F}{\partial x} = 2x\] \[F_y = \frac{\partial F}{\partial y} = 2y\]

  3. Примените формулу:

    \[\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}\]

Ответ: \(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\)

4.4. Общая формула на эллипсе (Лаба 8, задание 4)

Найдите \(\frac{dy}{dx}\) for the ellipse \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\) using the general formula.

Нажмите, чтобы увидеть решение

  1. Запишите в виде \(F(x, y) = 0\):

    \[F(x, y) = \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} - 1 = 0\]

  2. Найдите частные производные:

    \[F_x = \frac{\partial F}{\partial x} = \frac{2x}{9}\] \[F_y = \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{2y}{4} = \frac{y}{2}\]

  3. Примените формулу:

    \[\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} = -\frac{2x/9}{y/2} = -\frac{2x}{9} \cdot \frac{2}{y} = -\frac{4x}{9y}\]

Ответ: \(\frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{9y}\)

4.5. Касательная к «сложной» кривой (Лаба 8, задание 5)

Найдите наклон касательной к кривой \(x^3 + y^3 = 6xy\) at the point \((3, 3)\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Use the general implicit differentiation formula for complex equations.

  1. Запишите в виде \(F(x, y) = 0\):

    \[F(x, y) = x^3 + y^3 - 6xy = 0\]

  2. Найдите частные производные:

    \[F_x = \frac{\partial F}{\partial x} = 3x^2 - 6y\] \[F_y = \frac{\partial F}{\partial y} = 3y^2 - 6x\]

  3. Примените формулу:

    \[\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} = -\frac{3x^2 - 6y}{3y^2 - 6x}\]

  4. Вычислите в точке \((3, 3)\):

    \[\frac{dy}{dx}\bigg|_{(3,3)} = -\frac{3(3)^2 - 6(3)}{3(3)^2 - 6(3)} = -\frac{27 - 18}{27 - 18} = -\frac{9}{9} = -1\]

  5. Уравнение касательной:

    В виде уравнения с угловым коэффициентом: \[y - 3 = -1(x - 3)\] \[y = -x + 6\]

Ответ: Наклон: \(m = -1\); Tangent line: \(y = -x + 6\)

4.6. Ещё раз общая формула (Лаба 8, задание 6)

С помощью общей формулы найдите \(\frac{dy}{dx}\) for the curve \(\sin(x) + \cos(y) = 1\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

  1. Запишите в виде \(F(x, y) = 0\):

    \[F(x, y) = \sin(x) + \cos(y) - 1 = 0\]

  2. Найдите частные производные:

    \[F_x = \cos(x)\] \[F_y = -\sin(y)\]

  3. Примените формулу:

    \[\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} = -\frac{\cos(x)}{-\sin(y)} = \frac{\cos(x)}{\sin(y)}\]

Ответ: \(\frac{dy}{dx} = \frac{\cos(x)}{\sin(y)}\)

4.7. Наклон в заданной точке (Лаба 8, задание 7)

Найдите наклон касательной к \(x^2y + y^2x = 2\) at the point \((1, 1)\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

  1. Запишите в виде \(F(x, y) = 0\):

    \[F(x, y) = x^2y + y^2x - 2 = 0\]

  2. Найдите частные производные:

    \[F_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^2y + y^2x - 2) = 2xy + y^2\] \[F_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^2y + y^2x - 2) = x^2 + 2yx\]

  3. Примените формулу:

    \[\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} = -\frac{2xy + y^2}{x^2 + 2yx}\]

  4. Вычислите в \((1, 1)\):

    \[\frac{dy}{dx}\bigg|_{(1,1)} = -\frac{2(1)(1) + (1)^2}{(1)^2 + 2(1)(1)} = -\frac{2 + 1}{1 + 2} = -\frac{3}{3} = -1\]

Ответ: \(m = -1\)

4.8. Вертикальные касательные (Лаба 8, задание 8)

Найдите точки на кривой \(x^2 + y^3 - 3xy = 0\) where the tangent is vertical.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Vertical tangents occur where \(F_y = 0\) (denominator of \(\frac{dy}{dx}\) is zero).

  1. Запишите в виде \(F(x, y) = 0\):

    \[F(x, y) = x^2 + y^3 - 3xy = 0\]

  2. Найдите частные производные:

    \[F_x = 2x - 3y\] \[F_y = 3y^2 - 3x\]

  3. Vertical tangent occurs when \(F_y = 0\):

    \[3y^2 - 3x = 0\] \[x = y^2\]

  4. Подставьте в исходное уравнение:

    \[(y^2)^2 + y^3 - 3(y^2)y = 0\] \[y^4 + y^3 - 3y^3 = 0\] \[y^4 - 2y^3 = 0\] \[y^3(y - 2) = 0\]

    So \(y = 0\) or \(y = 2\).

  5. Соответствующие значения \(x\):

    • When \(y = 0\): \(x = (0)^2 = 0\) → Point \((0, 0)\)
    • When \(y = 2\): \(x = (2)^2 = 4\) → Point \((4, 2)\)

Ответ: Vertical tangents at \((0, 0)\) and \((4, 2)\)

4.9. Параметрическая кривая: узнать вид (Лекция 8, пример 1)

При изменении \(\theta\) от \(0\) до \(2\pi\) какую кривую описывает точка \(M(2 + 3\cos\theta, 1 + 3\sin\theta)\)?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Recognize parametric equations and use the Pythagorean identity to eliminate the parameter.

  1. Запишите параметрические уравнения:

    \[x = 2 + 3\cos\theta\] \[y = 1 + 3\sin\theta\]

    where \(\theta \in [0, 2\pi)\).

  2. Выразите тригонометрические функции:

    From the parametric equations: \[\cos\theta = \frac{x - 2}{3}\] \[\sin\theta = \frac{y - 1}{3}\]

  3. Используйте тождество Пифагора:

    We know that \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\). Substituting: \[\left(\frac{x - 2}{3}\right)^2 + \left(\frac{y - 1}{3}\right)^2 = 1\]

    \[\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y - 1)^2}{9} = 1\]

    Multiplying both sides by 9: \[(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9\]

  4. Определите вид кривой:

    This is the equation of a circle in standard form \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) where:

    • Center: \((h, k) = (2, 1)\)
    • Radius: \(r = \sqrt{9} = 3\)

Ответ: The point traces a circle with center \((2, 1)\) and radius \(3\). Equation: \((x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9\)

4.10. Длина касательной к окружности (Лекция 8, пример 2)

Найдите длину касательной из точки \(A(4, 3)\) to the circle given by the equation \(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Convert the circle to standard form, then use the Pythagorean theorem with the distance from the external point to the center.

  1. Найдите центр и радиус окружности:

    Given: \(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0\)

    Complete the square: \[(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + 1 = 0\] \[(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + 1 - 1 - 4 = 0\] \[(x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 4 = 0\] \[(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4\]

    So:

    • Center: \(C = (1, 2)\)
    • Radius: \(r = \sqrt{4} = 2\)

  2. Расстояние от точки до центра:

    Point \(A = (4, 3)\), Center \(C = (1, 2)\): \[AC = \sqrt{(4 - 1)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\]

  3. Формула длины касательной:

    The tangent from an external point to a circle forms a right angle with the radius at the point of tangency. Using the Pythagorean theorem: \[\text{Tangent length}^2 + r^2 = AC^2\] \[\text{Tangent length} = \sqrt{AC^2 - r^2}\]

    Substituting: \[\text{Tangent length} = \sqrt{(\sqrt{10})^2 - 2^2} = \sqrt{10 - 4} = \sqrt{6}\]

Ответ: \(\sqrt{6}\)

4.11. Прямая, касательная к окружности (Лекция 8, пример 3)

Найдите уравнение касательной к окружности given by \(x^2 + y^2 + 4x - 2y - 20 = 0\) at the point \(P(2, 4)\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Use implicit differentiation to find the slope at the given point, then apply point-slope form.

  1. Verify the point lies on the circle:

    Substitute \(x = 2\), \(y = 4\): \[(2)^2 + (4)^2 + 4(2) - 2(4) - 20 = 4 + 16 + 8 - 8 - 20 = 0\] ✓

  2. Implicit differentiation:

    Differentiate both sides with respect to \(x\): \[\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) + \frac{d}{dx}(4x) - \frac{d}{dx}(2y) - \frac{d}{dx}(20) = 0\] \[2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} + 4 - 2 \cdot \frac{dy}{dx} = 0\]

  3. Solve for \(\frac{dy}{dx}\):

    \[2y \cdot \frac{dy}{dx} - 2 \cdot \frac{dy}{dx} = -2x - 4\] \[2(y - 1) \cdot \frac{dy}{dx} = -2(x + 2)\] \[\frac{dy}{dx} = -\frac{x + 2}{y - 1}\]

  4. Наклон в точке \(P(2, 4)\):

    \[m = \frac{dy}{dx}\bigg|_{(2,4)} = -\frac{2 + 2}{4 - 1} = -\frac{4}{3}\]

  5. Equation of the tangent line:

    В виде уравнения с угловым коэффициентом: \[y - 4 = -\frac{4}{3}(x - 2)\] \[y - 4 = -\frac{4}{3}x + \frac{8}{3}\] \[y = -\frac{4}{3}x + \frac{8}{3} + 4\] \[y = -\frac{4}{3}x + \frac{8}{3} + \frac{12}{3}\] \[y = -\frac{4}{3}x + \frac{20}{3}\]

Ответ: \(y = -\frac{4}{3}x + \frac{20}{3}\)

4.12. Нормаль к эллипсу (Лекция 8, пример 4)

The point \(P(3, 2)\) lies on the ellipse defined by \(4x^2 + 9y^2 = 72\).

  1. Show that \(P\) lies on the ellipse.
  2. Find the slope of the normal line to the ellipse at point \(P\).
  3. Hence, find the equation of the normal line.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Use implicit differentiation to find the tangent slope, then use perpendicularity to find the normal slope.

(a) Verify the point:

Substitute \(x = 3\), \(y = 2\) into the equation: \[4(3)^2 + 9(2)^2 = 4(9) + 9(4) = 36 + 36 = 72\] ✓

The point \(P(3, 2)\) lies on the ellipse.

(b) Find slope of the normal:

  1. Implicit differentiation:

    \[\frac{d}{dx}(4x^2) + \frac{d}{dx}(9y^2) = \frac{d}{dx}(72)\] \[8x + 18y \cdot \frac{dy}{dx} = 0\] \[18y \cdot \frac{dy}{dx} = -8x\] \[\frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{9y}\]

  2. Slope of tangent at \(P(3, 2)\):

    \[m_{\text{tangent}} = -\frac{4(3)}{9(2)} = -\frac{12}{18} = -\frac{2}{3}\]

  3. Slope of normal:

    \[m_{\text{normal}} = -\frac{1}{m_{\text{tangent}}} = -\frac{1}{-2/3} = \frac{3}{2}\]

(c) Equation of the normal line:

Using point-slope form with \(m = \frac{3}{2}\) and point \(P(3, 2)\): \[y - 2 = \frac{3}{2}(x - 3)\] \[y - 2 = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2}\] \[y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2} + 2\] \[y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2} + \frac{4}{2}\] \[y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}\]

Ответ:

  1. Verified: \(P(3, 2)\) lies on the ellipse
  2. Slope of normal: \(m = \frac{3}{2}\)
  3. Normal line: \(y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}\)
4.13. Касательная к гиперболе (Лекция 8, пример 5)

Consider the rectangular hyperbola given by the equation \(xy = 12\).

  1. Use implicit differentiation to find an expression for \(\frac{dy}{dx}\).
  2. Find the equation of the tangent line to the hyperbola at the point \(P(3, 4)\).
  3. Show that this tangent line intersects the \(x\)-axis at \((6, 0)\).
Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Apply the product rule during implicit differentiation.

(a) Implicit differentiation:

\[\frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(12)\]

Using the product rule on the left side: \[x \cdot \frac{dy}{dx} + y \cdot 1 = 0\] \[x \cdot \frac{dy}{dx} = -y\] \[\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}\]

(b) Equation of tangent line:

  1. Verify point \(P(3, 4)\) lies on hyperbola:

    \[3 \times 4 = 12\] ✓

  2. Наклон в точке \(P(3, 4)\):

    \[m = \frac{dy}{dx}\bigg|_{(3,4)} = -\frac{4}{3}\]

  3. Equation of tangent line:

    В виде уравнения с угловым коэффициентом: \[y - 4 = -\frac{4}{3}(x - 3)\] \[y - 4 = -\frac{4}{3}x + 4\] \[y = -\frac{4}{3}x + 8\]

(c) Show intersection with \(x\)-axis at \((6, 0)\):

Set \(y = 0\) in the tangent line equation: \[0 = -\frac{4}{3}x + 8\] \[\frac{4}{3}x = 8\] \[x = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6\]

So the tangent line intersects the \(x\)-axis at \((6, 0)\). ✓

Ответ:

  1. \(\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}\)
  2. Tangent line: \(y = -\frac{4}{3}x + 8\)
  3. Verified: Intersection at \((6, 0)\)
4.14. Касательная и нормаль к эллипсу (Лекция 8, пример 6)

Найдите уравнения касательной и нормали к эллипсу \(3x^2 + 2y^2 = 5\) at point \(Q(-1, 1)\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Use implicit differentiation to find the slope of the tangent line, then use the perpendicularity condition to find the normal line slope.

  1. Производная по неявному дифференцированию:

    Starting with \(3x^2 + 2y^2 = 5\), rewrite as: \[3x^2 + 2y^2 - 5 = 0\]

    Differentiate both sides with respect to \(x\): \[\frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(2y^2) - \frac{d}{dx}(5) = 0\] \[6x + 4y \cdot y' - 0 = 0\] \[6x + 4yy' = 0\]

    Solve for \(y'\): \[y' = -\frac{6x}{4y} = -\frac{3x}{2y}\]

  2. Наклон касательной в \(Q(-1, 1)\):

    \[m_{\text{tangent}} = y'(-1, 1) = -\frac{3(-1)}{2(1)} = \frac{3}{2}\]

  3. Уравнение касательной:

    Using point-slope form with \(m = \frac{3}{2}\) and point \((-1, 1)\): \[y - 1 = \frac{3}{2}(x - (-1))\] \[y - 1 = \frac{3}{2}(x + 1)\] \[y - 1 = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}\] \[y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}\]

  4. Наклон нормали:

    The normal line is perpendicular to the tangent, so: \[m_{\text{normal}} = -\frac{1}{m_{\text{tangent}}} = -\frac{1}{3/2} = -\frac{2}{3}\]

  5. Уравнение нормали:

    Using point-slope form with \(m = -\frac{2}{3}\) and point \((-1, 1)\): \[y - 1 = -\frac{2}{3}(x + 1)\] \[y - 1 = -\frac{2}{3}x - \frac{2}{3}\] \[y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}\]

Ответ:

Tangent line: \(y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}\)

Normal line: \(y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}\)

4.15. Эксцентриситет из геометрического условия (Лекция 8, пример 7)

Найдите эксцентриситет эллипса, given that its major axis subtends an angle of \(120°\) at the endpoints of its minor axis.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Use geometry to relate the major and minor axes, then apply the eccentricity formula.

  1. Set up the geometric relationship:

    Consider one quarter of the ellipse. The endpoints of the major axis and one endpoint of the minor axis form a triangle. The angle at the minor axis endpoint is half of \(120°\), which is \(60°\).

    Let \(a\) be the semi-major axis and \(b\) be the semi-minor axis. The full major axis has length \(2a\), and we’re looking at the triangle formed by:

    • One endpoint of the minor axis (at distance \(b\) from center)
    • Two endpoints of the major axis (at distance \(a\) from center each)

    The angle of \(120°\) is split into two \(60°\) angles.

  2. Apply trigonometry:

    In the right triangle formed, we have:

    • One leg of length \(a\) (semi-major axis)
    • Hypotenuse from minor axis endpoint to major axis endpoint

    Using the \(60°\) angle, we can show that: \[\tan 60° = \frac{a}{b}\] \[\sqrt{3} = \frac{a}{b}\] \[a = \sqrt{3} \cdot b\]

  3. Calculate eccentricity:

    For an ellipse, \(c^2 = a^2 - b^2\) where \(c\) is the focal distance.

    The eccentricity is: \[\varepsilon = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\]

    Substituting \(a = \sqrt{3}b\): \[\varepsilon = \sqrt{1 - \frac{b^2}{(\sqrt{3}b)^2}} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{3b^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}\]

Ответ: \(\varepsilon = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0.816\)

4.16. Гипербола: приведение к каноническому виду (Лекция 8, пример 8)

Prove that the curve given by \(7x^2 + 48xy - 7y^2 - 62x - 34y + 98 = 0\) is a hyperbola. Find the eccentricity of this hyperbola, coordinates of its center and foci. Find the equations of axes, asymptotes, and directrices of this hyperbola.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Use the discriminant to identify the conic type, then apply rotation and translation transformations to find the canonical form and properties.

  1. Коэффициенты:

    From \(7x^2 + 48xy - 7y^2 - 62x - 34y + 98 = 0\): \[A = 7, \quad B = 48, \quad C = -7, \quad D = -62, \quad E = -34, \quad F = 98\]

  2. Verify it’s a hyperbola:

    \[\Delta = B^2 - 4AC = 48^2 - 4(7)(-7) = 2304 + 196 = 2500 > 0\]

    Since \(\Delta > 0\), this is indeed a hyperbola.

  3. Calculate rotation angle:

    \[\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} = \frac{7 - (-7)}{48} = \frac{14}{48} = \frac{7}{24}\]

    Since \(\cot 2\theta > 0\): \[\cos 2\theta = \frac{A - C}{\sqrt{(A - C)^2 + B^2}} = \frac{14}{\sqrt{14^2 + 48^2}} = \frac{14}{\sqrt{196 + 2304}} = \frac{14}{\sqrt{2500}} = \frac{14}{50} = \frac{7}{25}\]

    Using half-angle formulas (with positive sign since \(\cot 2\theta > 0\)): \[\cos\theta = +\sqrt{\frac{1 + \cos 2\theta}{2}} = \sqrt{\frac{1 + 7/25}{2}} = \sqrt{\frac{32/25}{2}} = \sqrt{\frac{32}{50}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\]

    \[\sin\theta = +\sqrt{\frac{1 - \cos 2\theta}{2}} = \sqrt{\frac{1 - 7/25}{2}} = \sqrt{\frac{18/25}{2}} = \sqrt{\frac{18}{50}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\]

  4. Set up rotation transformation:

    \[\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4/5 & -3/5 \\ 3/5 & 4/5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}\]

    This gives: \[x = \frac{1}{5}(4x' - 3y'), \quad y = \frac{1}{5}(3x' + 4y')\]

  5. Substitute and simplify:

    After substituting into the original equation and performing matrix multiplication (or expanding algebraically), we get: \[25(x')^2 - 25(y')^2 - 70x' + 10y' + 98 = 0\]

  6. Complete the square:

    \[25(x')^2 - 70x' - 25(y')^2 + 10y' + 98 = 0\] \[25(x' - \frac{7}{5})^2 - 25 \cdot \frac{49}{25} - 25(y' - \frac{1}{5})^2 + 25 \cdot \frac{1}{25} + 98 = 0\] \[25(x' - \frac{7}{5})^2 - 25(y' - \frac{1}{5})^2 = 49 - 1 - 98 = -50\]

    Dividing by \(-50\): \[\frac{(y' - 1/5)^2}{2} - \frac{(x' - 7/5)^2}{2} = 1\]

  7. Apply translation:

    Let \(x'' = x' - \frac{7}{5}\) and \(y'' = y' - \frac{1}{5}\). The canonical form is: \[\frac{(y'')^2}{(\sqrt{2})^2} - \frac{(x'')^2}{(\sqrt{2})^2} = 1\]

    This is a hyperbola with \(a = b = \sqrt{2}\).

  8. Find properties in canonical form:

    • Eccentricity: \(\varepsilon = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{2}{2}} = \sqrt{2}\)
    • Center in \(x''y''\) frame: \((0, 0)\)
    • Foci in \(x''y''\) frame: \((0, \pm c)\) where \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2 + 2} = 2\), so \((0, \pm 2)\)

  9. Transform back to original coordinates:

    The center in the \(x'y'\) frame is \((\frac{7}{5}, \frac{1}{5})\). Transform to \(xy\) frame: \[\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4/5 & -3/5 \\ 3/5 & 4/5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7/5 \\ 1/5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (28 - 3)/25 \\ (21 + 4)/25 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]

    For the foci, add \((0, \pm 2)\) in the \(x''y''\) frame to the center in \(x'y'\) frame, then transform: \[\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4/5 & -3/5 \\ 3/5 & 4/5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7/5 \\ 1/5 \pm 2 \end{bmatrix}\]

    This gives foci at approximately: \[F_1 = (1, 1) + (-\frac{6}{5}, \frac{8}{5}) = (-\frac{1}{5}, \frac{13}{5})\] \[F_2 = (1, 1) - (-\frac{6}{5}, \frac{8}{5}) = (\frac{11}{5}, -\frac{3}{5})\]

Ответ:

  • Type: Hyperbola (confirmed)
  • Eccentricity: \(\varepsilon = \sqrt{2}\)
  • Center: \((1, 1)\)
  • Foci: \((-\frac{1}{5}, \frac{13}{5})\) and \((\frac{11}{5}, -\frac{3}{5})\)
  • Canonical form: \(\frac{y^2}{2} - \frac{x^2}{2} = 1\) (in the rotated and translated frame)
4.17. Гипербола через ортогональные инварианты (Лекция 8, пример 8, вариант)

Методом ортогональных инвариантов приведите к каноническому виду уравнение \(7x^2 + 48xy - 7y^2 - 62x - 34y + 98 = 0\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Orthogonal invariants provide a shortcut to the canonical form without explicitly performing rotation.

  1. Коэффициенты:

    \[A = 7, \quad B = 48, \quad C = -7, \quad D = -62, \quad E = -34, \quad F = 98\]

  2. Verify it’s a hyperbola:

    \[B^2 - 4AC = 48^2 + 4(7)(7) = 2304 + 196 = 2500 > 0\]

  3. Set up the system of orthogonal invariants:

    \[\begin{cases} \tilde{A} + \tilde{C} = A + C = 7 + (-7) = 0 \\ \tilde{A} \cdot \tilde{C} = \det\begin{bmatrix} A & B/2 \\ B/2 & C \end{bmatrix} = \det\begin{bmatrix} 7 & 24 \\ 24 & -7 \end{bmatrix} = -49 - 576 = -625 \\ \tilde{A} \cdot \tilde{C} \cdot \tilde{F} = \det\begin{bmatrix} A & B/2 & D/2 \\ B/2 & C & E/2 \\ D/2 & E/2 & F \end{bmatrix} \end{cases}\]

    Calculate the 3×3 determinant: \[\det\begin{bmatrix} 7 & 24 & -31 \\ 24 & -7 & -17 \\ -31 & -17 & 98 \end{bmatrix} = 7(-7 \cdot 98 - (-17)(-17)) + \ldots = -31250\]

    So \(\tilde{A} \cdot \tilde{C} \cdot \tilde{F} = -31250\).

  4. Solve the system:

    From \(\tilde{A} + \tilde{C} = 0\), we have \(\tilde{C} = -\tilde{A}\).

    Substituting into \(\tilde{A} \cdot \tilde{C} = -625\): \[\tilde{A} \cdot (-\tilde{A}) = -625\] \[-(\tilde{A})^2 = -625\] \[(\tilde{A})^2 = 625\] \[\tilde{A} = \pm 25\]

    Taking \(\tilde{A} = 25\) and \(\tilde{C} = -25\) (the choice doesn’t affect the final canonical form).

    From \(\tilde{A} \cdot \tilde{C} \cdot \tilde{F} = -31250\): \[25 \cdot (-25) \cdot \tilde{F} = -31250\] \[-625\tilde{F} = -31250\] \[\tilde{F} = 50\]

  5. Write the transformed equation:

    \[25x^2 - 25y^2 + 50 = 0\] \[25x^2 - 25y^2 = -50\] \[\frac{y^2}{2} - \frac{x^2}{2} = 1\]

  6. Find the center:

    Solve: \[\begin{cases} Ax_0 + \frac{B}{2}y_0 + \frac{D}{2} = 0 \\ \frac{B}{2}x_0 + Cy_0 + \frac{E}{2} = 0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} 7x_0 + 24y_0 - 31 = 0 \\ 24x_0 - 7y_0 - 17 = 0 \end{cases}\]

    Solving this system yields \(x_0 = 1\), \(y_0 = 1\).

Ответ:

  • Canonical form: \(\frac{y^2}{2} - \frac{x^2}{2} = 1\)
  • Center in original coordinates: \((1, 1)\)
4.18. Парабола: приведение к каноническому виду (Лекция 8, пример 9)

Prove that the curve given by \(x^2 + 2xy + y^2 + x = 0\) is a parabola. Find the coordinates of its vertex and focus. Find the equations of its axis and directrix.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: For parabolas, the rotation angle is special (\(\theta = 45°\) when \(A = C\)), and we need to complete the square carefully.

  1. Коэффициенты:

    \[A = 1, \quad B = 2, \quad C = 1, \quad D = 1, \quad E = 0, \quad F = 0\]

  2. Verify it’s a parabola:

    \[\Delta = B^2 - 4AC = 4 - 4(1)(1) = 0\]

    Since \(\Delta = 0\), this is indeed a parabola.

  3. Find rotation angle:

    \[\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} = \frac{1 - 1}{2} = 0\]

    This means \(2\theta = 90°\), so \(\theta = 45°\).

    Therefore: \[\cos\theta = \sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

  4. Set up rotation transformation:

    \[\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{2}/2 & -\sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}\]

    \[x = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' - y'), \quad y = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' + y')\]

  5. Substitute into original equation:

    \[\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x' - y')\right)^2 + 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x' - y')\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x' + y')\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x' + y')\right)^2 + \frac{\sqrt{2}}{2}(x' - y') = 0\]

    Expanding and simplifying: \[\frac{1}{2}(x' - y')^2 + \frac{1}{2}(x'^2 - y'^2) + \frac{1}{2}(x' + y')^2 + \frac{\sqrt{2}}{2}(x' - y') = 0\]

    \[\frac{1}{2}(x'^2 - 2x'y' + y'^2) + \frac{1}{2}(x'^2 - y'^2) + \frac{1}{2}(x'^2 + 2x'y' + y'^2) + \frac{\sqrt{2}}{2}x' - \frac{\sqrt{2}}{2}y' = 0\]

    \[(x')^2 + \frac{\sqrt{2}}{2}x' - \frac{\sqrt{2}}{2}y' = 0\]

    Completing the square: \[(x' + \frac{\sqrt{2}}{8})^2 = \frac{\sqrt{2}}{4}(y' + \frac{\sqrt{2}}{16})\]

  6. Apply translation:

    Let \(x'' = x' + \frac{\sqrt{2}}{8}\) and \(y'' = y' + \frac{\sqrt{2}}{16}\).

    The canonical form becomes: \[(x'')^2 = \frac{\sqrt{2}}{4}y''\]

    or \[(x'')^2 = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{16} \cdot y''\]

    So \(p = \frac{\sqrt{2}}{16}\) (the focal parameter).

  7. Find vertex and focus in canonical form:

    • Vertex: \((0, 0)\) in the \(x''y''\) frame
    • Focus: \((0, \frac{\sqrt{2}}{16})\) in the \(x''y''\) frame

  8. Transform back to original coordinates:

    The vertex in the \(x'y'\) frame is \((-\frac{\sqrt{2}}{8}, -\frac{\sqrt{2}}{16})\).

    Transform to \(xy\) frame: \[\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{2}/2 & -\sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\sqrt{2}/8 \\ -\sqrt{2}/16 \end{bmatrix}\]

    \[= \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{-\sqrt{2}}{8} + \frac{-\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{-\sqrt{2}}{16} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{-\sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{-\sqrt{2}}{16} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{8} + \frac{1}{16} \\ -\frac{1}{8} - \frac{1}{16} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/16 \\ -3/16 \end{bmatrix}\]

    The focus in the \(x'y'\) frame is at \((-\frac{\sqrt{2}}{8}, -\frac{\sqrt{2}}{16} + \frac{\sqrt{2}}{16}) = (-\frac{\sqrt{2}}{8}, 0)\).

    Transform to \(xy\) frame: \[\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{2}/2 & -\sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\sqrt{2}/8 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/8 \\ -1/8 \end{bmatrix}\]

Ответ:

  • Type: Parabola (confirmed)
  • Vertex: \((-\frac{1}{16}, -\frac{3}{16})\)
  • Focus: \((-\frac{1}{8}, -\frac{1}{8})\)
  • Canonical form: \((x'')^2 = \frac{\sqrt{2}}{4}y''\) (in rotated and translated frame)
4.19. Парабола через ортогональные инварианты (Лекция 8, пример 9, вариант)

Методом ортогональных инвариантов приведите к каноническому виду уравнение \(x^2 + 2xy + y^2 + x = 0\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: For parabolas, the orthogonal invariant method requires modified formulas.

  1. Коэффициенты:

    \[A = 1, \quad B = 2, \quad C = 1, \quad D = 1, \quad E = 0, \quad F = 0\]

  2. Calculate the determinant:

    \[\Delta = \det\begin{bmatrix} A & B/2 & D/2 \\ B/2 & C & E/2 \\ D/2 & E/2 & F \end{bmatrix} = \det\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1/2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1/2 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]

    Expanding: \[= 1 \cdot \det\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} - 1 \cdot \det\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix} + \frac{1}{2} \cdot \det\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix}\]

    \[= 0 - 0 + \frac{1}{2}(0 - \frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}\]

  3. Apply parabola invariant formulas:

    \[\tilde{C} = A + C = 1 + 1 = 2\]

    \[\tilde{D} = 2\sqrt{\frac{-\Delta}{A + C}} = 2\sqrt{\frac{-(-1/4)}{2}} = 2\sqrt{\frac{1/4}{2}} = 2\sqrt{\frac{1}{8}} = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

  4. Write the canonical form:

    \[\tilde{C}y^2 + \tilde{D}x = 0\] \[2y^2 + \frac{\sqrt{2}}{2}x = 0\]

    Solving for the standard parabola form: \[y^2 = -\frac{\sqrt{2}}{4}x\]

    Or equivalently: \[y^2 = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{16} \cdot x\]

    (Note: The negative sign indicates the parabola opens in the negative \(x\) direction in the canonical frame.)

Ответ: Canonical form: \(2y^2 + \frac{\sqrt{2}}{2}x = 0\) or \(y^2 = \frac{\sqrt{2}}{16} \cdot x\) after adjusting for the sign convention.

4.20. Коника в стандартном виде (Тест 2, задание 1a)

Приведите конику \(-9x^2 + 16y^2 - 72x - 96y - 144 = 0\) to standard form, identify its type, and calculate its eccentricity.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Complete the square for both variables.

  1. Group and factor:

    \[-9x^2 + 16y^2 - 72x - 96y - 144 = 0\] \[-9(x^2 + 8x) + 16(y^2 - 6y) = 144\]

  2. Complete the square:

    \[-9(x^2 + 8x + 16) + 16(y^2 - 6y + 9) = 144 - 144 + 144\] \[-9(x + 4)^2 + 16(y - 3)^2 = 144\]

  3. Divide by 144:

    \[\frac{(y - 3)^2}{9} - \frac{(x + 4)^2}{16} = 1\]

  4. Identify type:

    This is a vertical hyperbola with center \((-4, 3)\), \(a^2 = 9\), \(b^2 = 16\).

  5. Calculate eccentricity:

    For hyperbola: \(c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25\), so \(c = 5\) \[e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}\]

Ответ: Hyperbola \(\dfrac{(y - 3)^2}{9} - \dfrac{(x + 4)^2}{16} = 1\) with eccentricity \(e = \dfrac{5}{3}\)

4.21. Свойства эллипса (Тест 2, задание 1b)

For the ellipse \(\dfrac{(x - 2)^2}{9} + \dfrac{(y + 1)^2}{4} = 1\), find its foci, center, vertices, and determine whether it has a horizontal or vertical major axis.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Identify \(a\) and \(b\), then use the relationships for ellipses.

  1. Read parameters:

    Center: \((2, -1)\) \(a^2 = 9 \Rightarrow a = 3\) (under \(x\) term, so horizontal) \(b^2 = 4 \Rightarrow b = 2\) (under \(y\) term)

  2. Major axis orientation:

    Since \(a > b\) and \(a\) is under the \(x\) term, the major axis is horizontal.

  3. Find vertices:

    Along major axis: \((2 \pm 3, -1) = (5, -1)\) and \((-1, -1)\) Co-vertices: \((2, -1 \pm 2) = (2, 1)\) and \((2, -3)\)

  4. Find foci:

    \(c^2 = a^2 - b^2 = 9 - 4 = 5 \Rightarrow c = \sqrt{5}\) Foci: \((2 \pm \sqrt{5}, -1)\)

Ответ: Center \((2, -1)\), vertices \((5, -1)\) and \((-1, -1)\), foci \((2 \pm \sqrt{5}, -1)\), horizontal major axis

4.22. Параметрическая кривая как окружность (Тест 2, задание 2a)

При изменении \(\theta\) от \(0\) до \(2\pi\) какую кривую описывает точка \(M(2 + 3\cos\theta, 1 + 3\sin\theta)\)?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Use the Pythagorean identity to eliminate the parameter.

  1. Write parametric equations:

    \(x = 2 + 3\cos\theta\), \(y = 1 + 3\sin\theta\)

  2. Выразите тригонометрические функции:

    \(\cos\theta = \dfrac{x - 2}{3}\), \(\sin\theta = \dfrac{y - 1}{3}\)

  3. Apply identity \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\):

    \[\left(\frac{x - 2}{3}\right)^2 + \left(\frac{y - 1}{3}\right)^2 = 1\] \[(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9\]

Ответ: Circle with center \((2, 1)\) and radius \(3\)

4.23. Касательная к окружности (Тест 2, задание 2b)

Найдите уравнение касательной к окружности \(x^2 + y^2 + 4x - 2y - 20 = 0\) at point \(P(2, 4)\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Use implicit differentiation to find the slope.

  1. Define function:

    \(F(x, y) = x^2 + y^2 + 4x - 2y - 20\)

  2. Найдите частные производные:

    \[F_x = 2x + 4\] \[F_y = 2y - 2\]

  3. Calculate slope:

    \[\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} = -\frac{2x + 4}{2y - 2} = -\frac{x + 2}{y - 1}\]

  4. Вычислите в \(P(2, 4)\):

    \[m = -\frac{2 + 2}{4 - 1} = -\frac{4}{3}\]

  5. Write tangent line:

    \[y - 4 = -\frac{4}{3}(x - 2)\] \[3y - 12 = -4x + 8\] \[4x + 3y - 20 = 0\]

Ответ: \(4x + 3y - 20 = 0\)

4.24. Тип коники и угол поворота (Тест 2, задание 3a-i)

Определите the type of conic section \(x^2 - 4xy + y^2 - 12 = 0\) and find the proper angle for rotating axes to remove the \(xy\) term.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Use the discriminant and rotation angle formula.

  1. Коэффициенты:

    \(A = 1\), \(B = -4\), \(C = 1\)

  2. Calculate discriminant:

    \[\Delta = B^2 - 4AC = 16 - 4(1)(1) = 12 > 0\]

    Since \(\Delta > 0\), this is a hyperbola.

  3. Find rotation angle:

    \[\tan 2\theta = \frac{B}{A - C} = \frac{-4}{1 - 1} = \infty\]

    So \(2\theta = 90° \Rightarrow \theta = 45°\)

Ответ: Hyperbola; rotation angle \(\theta = 45°\)

4.25. Тип коники: парабола (Тест 2, задание 3a-ii)

Определите the type of conic section \(x^2 + 2\sqrt{3}xy + 3y^2 + 8\sqrt{3}x - 8y = 0\) and find the proper angle for rotating axes.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Use discriminant to identify parabola.

  1. Коэффициенты:

    \(A = 1\), \(B = 2\sqrt{3}\), \(C = 3\)

  2. Calculate discriminant:

    \[\Delta = B^2 - 4AC = (2\sqrt{3})^2 - 4(1)(3) = 12 - 12 = 0\]

    Since \(\Delta = 0\), this is a parabola.

  3. Find rotation angle:

    \[\tan 2\theta = \frac{B}{A - C} = \frac{2\sqrt{3}}{1 - 3} = \frac{2\sqrt{3}}{-2} = -\sqrt{3}\]

    So \(2\theta = 120° \Rightarrow \theta = 60°\)

Ответ: Parabola; rotation angle \(\theta = 60°\)

4.26. Геометрическое место: отношение расстояний (Тест 2, задание 3b)

Найдите all points \(P(x, y)\) such that the distance from \(P\) to \(A(7, 1)\) is twice the distance from \(P\) to \(B(1, 4)\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Set up distance equation and simplify to find the locus.

  1. Write distance condition:

    \[\sqrt{(x - 7)^2 + (y - 1)^2} = 2\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 4)^2}\]

  2. Square both sides:

    \[(x - 7)^2 + (y - 1)^2 = 4[(x - 1)^2 + (y - 4)^2]\]

  3. Expand:

    \[x^2 - 14x + 49 + y^2 - 2y + 1 = 4(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16)\] \[x^2 + y^2 - 14x - 2y + 50 = 4x^2 + 4y^2 - 8x - 32y + 68\]

  4. Rearrange:

    \[3x^2 + 3y^2 + 6x - 30y + 18 = 0\] \[x^2 + y^2 + 2x - 10y + 6 = 0\]

  5. Complete the square:

    \[(x + 1)^2 + (y - 5)^2 = -6 + 1 + 25 = 20\]

Ответ: Circle \((x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 20\) with center \((-1, 5)\) and radius \(2\sqrt{5}\)

4.27. Окружность по трём точкам (Тест 2, задание 4a)

Найдите уравнение окружности, проходящей через точки \((1, 2)\), \((2, 4)\), and \((-1, 1)\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Substitute each point into the general circle equation and solve the system.

  1. General form:

    \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)

  2. Substitute points:

    For \((1, 2)\): \(1 + 4 + D + 2E + F = 0 \Rightarrow D + 2E + F = -5\) For \((2, 4)\): \(4 + 16 + 2D + 4E + F = 0 \Rightarrow 2D + 4E + F = -20\) For \((-1, 1)\): \(1 + 1 - D + E + F = 0 \Rightarrow -D + E + F = -2\)

  3. Solve system using matrices:

    \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -5 \\ 2 & 4 & 1 & -20 \\ -1 & 1 & 1 & -2 \end{bmatrix} \xrightarrow{\text{reduce}} D = 3, E = -9, F = 10\]

  4. Write equation:

    \[x^2 + y^2 + 3x - 9y + 10 = 0\]

Ответ: \(x^2 + y^2 + 3x - 9y + 10 = 0\)

4.28. Классификация точки относительно окружности (Тест 2, задание 4b)

Consider the circle \(x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0\) and determine whether points \(A(2, 1)\), \(B(1, 1)\), and \(C(0, 1)\) are inside, outside, or on it.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Complete the square and use the power of a point.

  1. Convert to standard form:

    \[x^2 - 2x + y^2 + 4y = 4\] \[(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9\]

    Center: \((1, -2)\), Radius: \(3\)

  2. Test each point:

    For \(A(2, 1)\): \((2 - 1)^2 + (1 + 2)^2 = 1 + 9 = 10 > 9\) → Outside For \(B(1, 1)\): \((1 - 1)^2 + (1 + 2)^2 = 0 + 9 = 9\) → On the circle For \(C(0, 1)\): \((0 - 1)^2 + (1 + 2)^2 = 1 + 9 = 10 > 9\) → Outside

Ответ: \(A\) and \(C\) are outside; \(B\) is on the circle

4.29. Асимптоты гиперболы (Тест 2, задание 4c)

Найдите асимптоты гиперболы \(\dfrac{y^2}{9} - \dfrac{x^2}{16} = 1\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: For vertical hyperbola \(\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1\), asymptotes are \(y = \pm\dfrac{a}{b}x\).

  1. Identify parameters:

    \(a^2 = 9 \Rightarrow a = 3\) \(b^2 = 16 \Rightarrow b = 4\)

  2. Write asymptotes:

    \[y = \pm\frac{3}{4}x\]

Ответ: \(y = \dfrac{3}{4}x\) and \(y = -\dfrac{3}{4}x\)

4.30. Квадратичная форма со смешанными знаками (Задания, задание 1)

Приведите конику \(-4x^2 + 9y^2 + 24x + 36y - 36 = 0\) to standard form, identify its type, and calculate its eccentricity.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Completing the square isolates the quadratic factors and reveals the canonical parameters.

  1. Group the variables and factor common coefficients:

    \[-4(x^2 - 6x) + 9(y^2 + 4y) - 36 = 0\]

  2. Complete the square inside each bracket:

    \[-4\big[(x - 3)^2 - 9\big] + 9\big[(y + 2)^2 - 4\big] - 36 = 0\]

  3. Simplify and divide to reach standard form:

    \[9(y + 2)^2 - 4(x - 3)^2 = 36 \quad \Rightarrow \quad \frac{(y + 2)^2}{4} - \frac{(x - 3)^2}{9} = 1\]

  4. Identify geometry:

    \(a^2 = 4\), \(b^2 = 9\) so

    \[e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}\]

Ответ: Hyperbola \(\dfrac{(y + 2)^2}{4} - \dfrac{(x - 3)^2}{9} = 1\) with eccentricity \(e = \dfrac{\sqrt{13}}{2}\)

4.31. Сдвинутый эллипс (Задания, задание 2)

For the ellipse \(\dfrac{(x + 1)^2}{16} + \dfrac{(y - 2)^2}{9} = 1\), find its foci, center, vertices, and determine whether it has a horizontal or vertical major axis.

Нажмите, чтобы увидеть решение
  1. Read parameters directly: Center \((-1, 2)\), \(a^2 = 16\) (\(a = 4\)), \(b^2 = 9\) (\(b = 3\)).
  2. Find vertices: Along the major axis: \((-1 \pm 4, 2)\) gives \((-5, 2)\) and \((3, 2)\). Co-vertices lie \(b\) units along \(y\): \((-1, 2 \pm 3)\).
  3. Compute focal distance: \(c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}\), so foci are \((-1 \pm \sqrt{7}, 2)\).
  4. Determine orientation: The larger denominator sits under \((x + 1)^2\), so the major axis is horizontal.

Ответ: Center \((-1, 2)\), vertices \((-5, 2)\) and \((3, 2)\), foci \((-1 \pm \sqrt{7}, 2)\), horizontal major axis

4.32. Параметрическая кривая: определить вид (Задания, задание 3)

При изменении \(\theta\) от \(0\) до \(2\pi\) опишите кривую, которую описывает точка \(M(3 + 4\cos\theta, -2 + 4\sin\theta)\), и обоснуйте ответ.

Нажмите, чтобы увидеть решение

  1. Isolate the trigonometric functions:

    \[\cos\theta = \frac{x - 3}{4}, \qquad \sin\theta = \frac{y + 2}{4}\]

  2. Apply \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\):

    \[\left(\frac{x - 3}{4}\right)^2 + \left(\frac{y + 2}{4}\right)^2 = 1\]

  3. Clear denominators:

    \[(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16\]

  4. Interpretation: The locus is a circle of radius \(4\) centered at \((3, -2)\).

Ответ: Circle \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16\) (center \((3, -2)\), radius \(4\))

4.33. Касательная к сдвинутой окружности (Задания, задание 4)

Найдите уравнение касательной к окружности \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\) at the point \(P(1, 3)\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: A point of tangency must satisfy the circle; if not, fix the constant term before differentiating.

  1. Complete the square:

    \[(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25\]

  2. Check the given point:

    For the point \((1, 3)\) to lie on the circle: \((1-3)^2 + (3+2)^2 = 4 + 25 = 29\). The circle equation is \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 29\).

  3. Implicit differentiation (constant change does not affect derivatives):

    \[2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} - 6 + 4\frac{dy}{dx} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = -\frac{2x - 6}{2y + 4}\]

  4. Вычислите наклон в \(P(1, 3)\):

    \[m = -\frac{2(1) - 6}{2(3) + 4} = -\frac{-4}{10} = \frac{2}{5}\]

  5. Equation via point-slope form:

    \[y - 3 = \frac{2}{5}(x - 1) \quad \Rightarrow \quad y = \frac{2}{5}x + \frac{13}{5}\]

Ответ: After correcting the constant to \(-16\), the tangent at \(P(1, 3)\) is \(y = \frac{2}{5}x + \frac{13}{5}\)

4.34. Классификация поворотом (Задания, задание 5)

For the conic section \(x^2 - 6xy + y^2 - 8 = 0\), determine its type and find the appropriate rotation angle to eliminate the \(xy\) term.

Нажмите, чтобы увидеть решение

  1. Коэффициенты: \(A = 1\), \(B = -6\), \(C = 1\).

  2. Use the discriminant: \(\Delta = B^2 - 4AC = 36 - 4 = 32 > 0\), so the curve is a hyperbola (or a degenerate case).

  3. Compute rotation angle: \(\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} = 0 \Rightarrow 2\theta = \frac{\pi}{2}\), hence \(\theta = \frac{\pi}{4}\) (45° rotation).

  4. Apply the rotation via \(u = x + y\), \(v = x - y\) (aligned with 45° axes):

    Substituting gives \(u^2 - 2v^2 + 8 = 0 \Rightarrow \frac{v^2}{4} - \frac{u^2}{8} = 1\), confirming a hyperbola opening along the \(v\)-axis.

Ответ: Hyperbola; rotate by \(\theta = 45°\) to obtain \(\dfrac{v^2}{4} - \dfrac{u^2}{8} = 1\)

4.35. ГМТ: отношение расстояний (Задания, задание 6)

Найдите all points \(P(x, y)\) such that the distance from \(P\) to \(A(3, 2)\) is three times the distance from \(P\) to \(B(-1, 1)\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

  1. Translate the ratio into an equation:

    \[\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 2)^2} = 3\sqrt{(x + 1)^2 + (y - 1)^2}\]

  2. Square both sides:

    \[(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 9\big[(x + 1)^2 + (y - 1)^2\big]\]

  3. Expand and collect like terms:

    \[8x^2 + 8y^2 + 24x - 14y + 5 = 0\]

  4. Divide by \(8\) and complete the squares:

    \[x^2 + y^2 + 3x - \frac{7}{4}y + \frac{5}{8} = 0\] \[(x + \tfrac{3}{2})^2 + (y - \tfrac{7}{8})^2 = \frac{153}{64}\]

Ответ: Apollonius circle centered at \(\left(-\tfrac{3}{2}, \tfrac{7}{8}\right)\) with radius \(\tfrac{\sqrt{153}}{8}\)

4.36. Окружность по трём точкам (Задания, задание 7)

Определите the equation of a circle that passes through the points \((1, 2)\), \((2, 4)\), and \((-2, -1)\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

  1. Start from the general form: \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\).

  2. Substitute each point to build a linear system:

    [

    \[\begin{cases} 1 + 4 + D + 2E + F = 0 \\ 4 + 16 + 2D + 4E + F = 0 \\ 4 + 1 - 2D - E + F = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} D + 2E + F = -5 \\ 2D + 4E + F = -20 \\ -2D - E + F = -5 \end{cases}\]

    ]

  3. Solve: \(D = 15\), \(E = -15\), \(F = 10\).

  4. Write the circle and extract its center/radius:

    \[x^2 + y^2 + 15x - 15y + 10 = 0\] \[(x + 7.5)^2 + (y - 7.5)^2 = \frac{205}{2}\]

Ответ: Circle \(x^2 + y^2 + 15x - 15y + 10 = 0\) (center \((-7.5, 7.5)\), radius \(\sqrt{205/2}\))

4.37. Точки внутри/снаружи окружности (Задания, задание 8)

For the circle \(x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0\), determine whether the points \(A(1, 2)\), \(B(-1, 4)\), and \(C(0, 0)\) lie inside, outside, or on the circle.

Нажмите, чтобы увидеть решение

  1. Convert to center-radius form:

    \[(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16\] Center \((-2, 3)\), radius \(r = 4\).

  2. Use the power test \(P = (x - h)^2 + (y - k)^2 - r^2\):

    • \(A(1, 2)\): \(P_A = 10 - 16 = -6\) (inside)
    • \(B(-1, 4)\): \(P_B = 2 - 16 = -14\) (inside)
    • \(C(0, 0)\): \(P_C = 13 - 16 = -3\) (inside)

Ответ: All three points lie inside the circle

4.38. Гипербола: канонический вид и асимптоты (Задания, задание 9)

Приведите гиперболу \(9x^2 - 16y^2 - 36x - 64y + 116 = 0\) to standard form and find its asymptotes.

Нажмите, чтобы увидеть решение

  1. Complete the squares:

    \[9(x^2 - 4x) - 16(y^2 + 4y) + 116 = 0\] \[9\big[(x - 2)^2 - 4\big] - 16\big[(y + 2)^2 - 4\big] + 116 = 0\]

  2. Simplify:

    \[9(x - 2)^2 - 16(y + 2)^2 = -144\]

  3. Divide by \(-144\):

    \[\frac{(y + 2)^2}{9} - \frac{(x - 2)^2}{16} = 1\]

  4. State the asymptotes for a vertical hyperbola:

    \[y + 2 = \pm\frac{a}{b}(x - 2) = \pm\frac{3}{4}(x - 2)\]

Ответ: Hyperbola \(\dfrac{(y + 2)^2}{9} - \dfrac{(x - 2)^2}{16} = 1\) with asymptotes \(y + 2 = \pm \tfrac{3}{4}(x - 2)\)

4.39. Парабола по фокусу и директрисе (Задания, задание 10)

Найдите уравнение параболы with focus at \((2, 3)\) and directrix \(y = -1\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

  1. Set equal the squared distances to focus and directrix:

    \[(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = (y + 1)^2\]

  2. Expand and simplify:

    \[x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = y^2 + 2y + 1\] \[x^2 - 4x - 8y + 12 = 0\]

  3. Complete the square in \(x\):

    \[(x - 2)^2 = 8(y - 1)\]

  4. Interpret parameters: Vertex \((2, 1)\), axis vertical, \(p = 2\) (distance from vertex to focus), focus \((2, 3)\), directrix \(y = -1\).

Ответ: Parabola \((x - 2)^2 = 8(y - 1)\) opening upward

4.40. Вырожденная коника после поворота (Задания, задание 11)

For the rotated conic \(2x^2 + 4xy + 2y^2 - 36 = 0\), determine the rotation angle needed to eliminate the \(xy\) term and identify the type of conic.

Нажмите, чтобы увидеть решение

  1. Factor the quadratic part:

    \[2(x^2 + 2xy + y^2) - 36 = 2(x + y)^2 - 36 = 0\]

  2. Recognize that \(x + y\) aligns with a 45° axis:

    Since \(A = C\) and \(B \neq 0\), choose \(\theta = 45°\) to remove the mixed term.

  3. Solve the factored equation:

    \[(x + y)^2 = 18 \quad \Rightarrow \quad x + y = \pm 3\sqrt{2}\]

  4. Interpretation: The “conic” is a pair of parallel lines in the rotated frame, i.e., a degenerate case rather than an ellipse/parabola/hyperbola.

Ответ: Rotate by \(\theta = 45°\); the equation factors into the parallel lines \(x + y = \pm 3\sqrt{2}\) (degenerate conic)